アンドロイドの携帯電話（スマートフォン）、タブレットなどには、マイクロUSB端子が（大体）付いています。この端子に、SDカードリーダを接続することでSDカードを読み書きしたい場合で、できない場合があります。
一番重要なのは、アンドロイド機器にOn The Go(OTG)機能がないとできません。OTG機能がない機種だったらこのようなことは不可能です。日本の3つの通信キャリアが提供するスマートフォンで、OTGが対応か、非対応かというのは、公開されていません(デベロッパー向けには公開されていますが、一般向けには公開されていません）。
よってなかなかわかりにくい機能と思います。スマートフォンを購入前に、OTG対応かどうか、ショップで聞いてみる（たぶん答えられない）というのもありですし、既に試している人を探してみる（Webの検索エンジンで）とよいでしょう。
次に重要なのは、カードリーダ側です。カードリーダ側にたくさんの差し込み口（マルチカードタイプ）があるような場合利用できない場合があります。できれば１か所しかさせないタイプがよいでしょう。また、スマートフォンと、カードリーダをつなぐケーブルも気を付ける必要があります。安いケーブルなどは、充電しかできないものもありますので、必ずデータ送受信ができるタイプで購入する必要があります。
次に重要なのは、Android側の問題です。特に古いバージョンのOSの場合には動いたり、動かなかったりとろくにテストされていないんじゃないかと思うくらいです。ただ、カードリーダ側に電力をスマートフォン側から供給することになりますが、この電力消費量が、スマートフォンの限界を超えてしまう場合があります。またカードリーダが無駄に電力を使っている場合もあります。
以上のことから、まずは他の人が同じようなことをしていないかを検索してから試すのが一番よいでしょう。上記の確認ができないまま、動かないと悩んでも苦労するだけなので。