SDカードを認識しなくなったときの修理方法はあるのでしょうか？

論理故障と、物理故障があります。論理故障は、データ復旧ということになりますので、PCなどで「データ復旧」と検索するといろいろなPCソフトウェアがありますのでこちらで復旧できる可能性があります（0％かもしれません）。
物理故障については、microサイズから言うとあり得ません。せいぜい端子が切れたくらいならば治るかな程度です。標準サイズでは、今のSDカードでは端子部分の目で見える故障くらいですが、できもしないのに、SDカードを開けてデータを取り出すという会社があります。これは今のSDカードでは全くできることではありません。今はほぼGB単位ですが、数年前のＭＢ単位のSDカードならばできる可能性はあります。